Формула арифметичної прогресії: формули та приклади

Арифметична прогресія визначається як числова послідовність, у якій різниця між кожним наступним членом і попереднім залишається незмінною величиною. Цю величину називають різницею арифметичної прогресії і позначають літерою d. Така структура робить послідовність повністю передбачуваною: кожен новий член утворюється шляхом додавання тієї самої сталої до попереднього результату.

Формула арифметичної прогресії для n-го члена набуває простого лінійного вигляду завдяки сталості різниці. Вона безпосередньо пов’язує номер члена з його значенням через перший член та різницю, дозволяючи уникнути послідовного обчислення всіх проміжних елементів. Формула суми перших n членів походить від властивості парного сумування або алгебраїчного розкладу послідовності. Обидва підходи призводять до еквівалентних виразів, які спрощують розрахунки навіть для великих значень n.

Механізм дії цих формул розкривається через поетапне виведення та аналіз конкретних прикладів. Розуміння зв’язку між рекурентним співвідношенням, загальним членом і сумою формує цілісне уявлення про поведінку арифметичних послідовностей у математичних моделях.

Означення арифметичної прогресії

Арифметичною прогресією називають послідовність дійсних чисел a₁, a₂, a₃, …, у якій для будь-якого натурального номера k виконується рівність a_{k+1} − a_k = d, де d — стала величина, що не залежить від k. Число d називають різницею арифметичної прогресії. Якщо різниця додатна, прогресія зростає; якщо від’ємна — спадає; якщо дорівнює нулю — усі члени однакові.

Рекурентна формула записується так: a_{n+1} = a_n + d. Вона задає правило переходу від одного члена до наступного і повністю визначає послідовність за відомими першим членом a₁ та різницею d.

Рекурентна формула a_{n+1} = a_n + d відображає фундаментальну властивість арифметичної прогресії — сталість різниці між послідовними членами.

Щоб перевірити, чи є задана послідовність арифметичною прогресією, обчислюють різниці між сусідніми членами. Якщо всі різниці рівні, послідовність є арифметичною прогресією. Наприклад, у послідовності 5, 9, 13, 17 різниці становлять 4, 4, 4 — отже, це арифметична прогресія з d = 4. У послідовності 1, 3, 6, 10 різниці 2, 3, 4 не рівні, тому вона не є арифметичною прогресією.

Формула n-го члена арифметичної прогресії

Формула n-го члена арифметичної прогресії виводиться з рекурентного співвідношення шляхом послідовного додавання різниці. Почавши з першого члена a₁, отримуємо: a₂ = a₁ + d, a₃ = a₁ + 2d, a₄ = a₁ + 3d. Спостерігається закономірність: коефіцієнт при d дорівнює (n − 1). Таким чином, загальний член набуває вигляду aₙ = a₁ + (n − 1) × d. Формула справедлива і для n = 1: a₁ = a₁ + (1 − 1) × d.

Формула n-го члена арифметичної прогресії має вигляд aₙ = a₁ + (n − 1) × d, де a₁ — перший член, d — різниця, n — порядковий номер члена.

Ця формула дозволяє безпосередньо обчислити будь-який член без проміжних кроків. Наприклад, для прогресії з a₁ = 4 та d = −2 десятий член дорівнює a₁₀ = 4 + (10 − 1) × (−2) = 4 − 18 = −14. Перевірка послідовним додаванням: 4, 2, 0, −2, −4, −6, −8, −10, −12, −14 підтверджує результат.

Інший приклад: a₁ = 0, d = 0,5. Тоді a₈ = 0 + (8 − 1) × 0,5 = 3,5. Послідовність: 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5. Формула дає точний результат миттєво.

Властивості арифметичної прогресії

Арифметична прогресія має низку важливих властивостей, що випливають зі сталості різниці d. По-перше, різниця між будь-якими двома членами з номерами, що відрізняються на k, дорівнює k × d. По-друге, для будь-якого n ≥ 2 член aₙ є середнім арифметичним сусідніх членів: aₙ = (a_{n−1} + a_{n+1}) / 2. Це випливає з того, що a_{n+1} = aₙ + d, а a_{n−1} = aₙ − d, тому їхнє середнє точно дорівнює aₙ.

По-третє, прогресія повністю визначається двома параметрами — першим членом a₁ та різницею d. Знання будь-яких двох членів дозволяє знайти a₁ та d, а отже, відновити всю послідовність. Якщо відомі три члени a_p, a_q, a_r з рівними інтервалами (q − p = r − q), то виконується рівність 2a_q = a_p + a_r. Ця узагальнена властивість середнього члена корисна для перевірки або пошуку невідомих елементів.

Формула суми перших n членів арифметичної прогресії

Суму перших n членів арифметичної прогресії можна вивести двома способами. Перший — метод парного сумування. Пари (a₁ + aₙ), (a₂ + a_{n−1}), … кожна дорівнює a₁ + aₙ = 2a₁ + (n − 1) × d. Кількість таких пар дорівнює n/2. Отже, Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n − 1) × d). Другий спосіб — алгебраїчний розклад: Sₙ = Σ [a₁ + (k − 1) × d] від k = 1 до n = n × a₁ + d × [0 + 1 + … + (n − 1)]. Сума 0 + 1 + … + (n − 1) = (n − 1)n/2, тому Sₙ = n × a₁ + d × n(n − 1)/2, що після приведення до спільного знаменника дає той самий вираз.

Формула суми перших n членів арифметичної прогресії має вигляд Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ) або еквівалентно Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n − 1) × d).

Обидві форми зручні залежно від відомих даних. Якщо відомі a₁ та aₙ, зручніше використовувати першу; якщо a₁ та d — другу. Для n = 1 формула дає S₁ = a₁, що узгоджується з означенням.

Спеціальний випадок — сума перших n натуральних чисел, де a₁ = 1, d = 1. Тоді Sₙ = n/2 × (2 × 1 + (n − 1) × 1) = n(n + 1)/2. Цей результат часто використовують у комбінаториці та теорії чисел.

У наведеній таблиці для прогресії непарних чисел (a₁ = 1, d = 2) сума перших n членів дорівнює квадрату n. Це частковий випадок загальної формули суми, що ілюструє її практичну силу.

Приклади розв’язування задач на формулу арифметичної прогресії

Задача 1. Перший член арифметичної прогресії дорівнює −3, різниця — 4. Знайти десятий член та суму перших восьми членів.

Спочатку обчислюємо a₁₀ = −3 + (10 − 1) × 4 = −3 + 36 = 33.
Далі a₈ = −3 + (8 − 1) × 4 = −3 + 28 = 25.
S₈ = 8/2 × (−3 + 25) = 4 × 22 = 88.
Або за другою формою: S₈ = 8/2 × (2 × (−3) + 7 × 4) = 4 × (−6 + 28) = 4 × 22 = 88.

Задача 2. Дано a₄ = 11 та a₇ = 20. Знайти a₁, d, потім a₁₂ та суму перших десяти членів.

Складаємо систему: a₁ + 3d = 11, a₁ + 6d = 20.
Віднімаємо перше рівняння від другого: 3d = 9, d = 3.
Тоді a₁ + 9 = 11, a₁ = 2.
a₁₂ = 2 + (12 − 1) × 3 = 2 + 33 = 35.
a₁₀ = 2 + 9 × 3 = 29.
S₁₀ = 10/2 × (2 + 29) = 5 × 31 = 155.

Задача 3. У перший місяць підприємство випустило 450 виробів, а кожного наступного місяця обсяг зростав на 75 виробів. Який загальний обсяг продукції за перші дев’ять місяців?

Це арифметична прогресія з a₁ = 450, d = 75, n = 9.
a₉ = 450 + (9 − 1) × 75 = 450 + 600 = 1050.
S₉ = 9/2 × (450 + 1050) = 4,5 × 1500 = 6750 виробів.

Задача 4. Перший член прогресії дорівнює 12, різниця — 5. Знайти найменше n, при якому сума перших n членів перевищує 400.

Використовуємо формулу: Sₙ = n/2 × (2 × 12 + (n − 1) × 5) = n/2 × (24 + 5n − 5) = n/2 × (5n + 19) ≥ 400.
n(5n + 19) ≥ 800.
5n² + 19n − 800 ≥ 0.
Розв’язуємо квадратне рівняння 5n² + 19n − 800 = 0: n = [−19 ± √(361 + 16000)] / 10 ≈ [−19 + √16361]/10.
√16361 ≈ 127,9, тому n ≈ (108,9)/10 ≈ 10,89.
Перевіряємо: для n = 11 S₁₁ = 11/2 × (12 + 12 + 10 × 5) = 5,5 × (24 + 50) = 5,5 × 74 = 407 > 400.
Для n = 10 S₁₀ = 5 × (12 + 12 + 9 × 5) = 5 × (24 + 45) = 5 × 69 = 345 < 400.
Отже, найменше n = 11.

Формули арифметичної прогресії застосовуються у задачах, де спостерігається постійний приріст або спад величин: у плануванні виробництва з фіксованим щомісячним зростанням, у фізиці при описі рівномірного руху через дискретні моменти часу, у фінансових розрахунках з рівномірними виплатами основної суми. Опанування механізмів виведення та застосування цих формул розвиває навички роботи з послідовностями та готує до аналізу складніших математичних структур, таких як ряди та рекурентні співвідношення.